1. Numerische Lösungsverfahren für Anfangswertprobleme#
Differentialgleichungen spielen eine wichtige Rolle in der Modellierung vieler naturwissenschaftlicher Phänomene. Insbesondere in der Physik und den Ingenieurswissenschaften ist das Verständnis und das Lösen von Differentialgleichungen essentiell, da sich viele physikalische Gesetze und Zusammenhänge durch diese beschreiben lassen. Leider existieren für viele Differentialgleichungen keine geschlossen darstellbaren analytischen Lösungen, so dass man Lösungen mit Hilfe numerischer Verfahren approximieren muss. In diesem und dem nächstem Kapitel widmen wir uns daher der numerischen Lösung von verschiedenen Problemen, die Differentialgleichungen beinhalten. Dies sind insbesondere Anfangswert- und Randwertprobleme.
Mathematisch gesehen ist eine Differentialgleichung eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen auftreten. Hierbei werden folgende Kriterien zur Unterscheidung von Differentialgleichungen genutzt.
Die größte auftretende Ableitung der unbekannten Funktion bestimmt die Ordnung der Differentialgleichung.
Je nachdem ob Ableitungen der unbekannten Funktion bezüglich einer einzigen Variablen oder unterschiedlicher Variablen auftreten sprechen wir von einer gewöhnlichen Differentialgleichung oder einer partiellen Differentialgleichung.
Werden gleich mehrere solche Funktionen durch mehrere Gleichungen beschrieben, so spricht man von einem Differentialgleichungssystem.
Wir werden in den folgenden Abschnitten zunächst die wichtigsten theoretischen Erkenntnisse für gewöhnliche Differentialgleichungen wiederholen und insbesondere Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen diskutieren. Diese werden für die spätere Konstruktion und Analyse von numerischen Lösungsverfahren hilfreich sein.